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  • Théorème des accroissements finis

    Formulaire de report


    Théorème


    Une variable

    Théorème des accroissements finis :
    Soit \(f:[a,b]\to\Bbb R\) une fonction continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\)
    Alors $$\exists c\in]a,b[\text{ tq } {{f(b)-f(a)}}={{f'(c)(b-a)}}$$

    Théorème des accroissements finis :
    • \(f\) est une fonction réelle définie sur un intervalle \([a,b]\) fermé
    • \(f\) est continue sur \([a,b]\)
    • \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\)

    $$\Huge\iff$$
    • il existe \(c\in\,]a,b[\) tel que $$\begin{align}&f(b)-f(a)=f^\prime(c)(b-a)\\ \\ \overset{a\ne b}\iff&f^\prime(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\end{align}$$



    (Continuité, Dérivabilité)
    Démonstration :$$\begin{align}&\text{on introduit :}\\ &h:[a,b]\longrightarrow\Bbb R\\ &x\longmapsto (f(b)-f(a))x-(b-a)f(x)\\ &\text{montrons que }\forall x\in[a,b],h(x)=0\\ \\ &h\text{ est continue sur }[a,b]\text{ et est dérivable sur }]a,b[\\ &\text{de plus, }\\ &h(a)=(f(b)-f(a))a-(b-a)f(a)\\ &=af(b)-\cancel{af(a)}-bf(a)+\cancel{af(a)}\\ &h(b)=(f(b)-f(a))b-(b-a)f(b)\\ &=\cancel{bf(b)}-bf(a)-\cancel{bf(b)}+af(b)\\ \\ &\text{donc d'après le théorème de Rolle,}\\ &\exists c\in[a,b],h'(c)=0\\ &\text{or }h'(x)=f(b)-f(a)-(b-a)f'(x)\\ &\implies f(b)-f(a)-(b-a)f'(c)=0 \end{align}$$
    (Théorème de Rolle)
    Corollaire : Inégalité des accroissements finis (Une variable)

    Deux variables

    Théorème des accroissements finis :
    Soit \(f: U\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathscr C^1\) sur un ouvert \(U\subset{\Bbb R}^2\)
    Si le segment \([a,b]\subset U\), alors il existe \(c\in]a,b[\) tel que $$f(b)-f(a)=\langle\operatorname{grad} f(c)\mid b-a\rangle$$

    Théorème des accroissements finis (fonction de deux variables) :
    • \(f\) est une fonction réelle définie sur un ouvert \(U\subset{\Bbb R}^2\)
    • \(f\) est de classe \(\mathscr C^1\)
    • le segment \([a,b]\) est compris dans \(U\) (\([a,b]\subset U\))

    $$\Huge\iff$$
    • il existe \(c\in\,]a,b[\) tel que : $$f(b)-f(a)=\langle\operatorname{grad} f(c)\mid b-a\rangle$$



    (Classe de fonctions, Ouvert, Gradient, Produit scalaire)
    Théorème des accroissements finis :
    $${{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)}}={{h\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+k\frac{\partial f}{\partial y}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)}}$$
    avec \(\theta\in]0,1[\)
    Preuve : se ramener au cas d'une variable
    Corollaire : Inégalité des accroissements finis (Plusieurs variables) Corollaire du théorème des accroissements finis :
    Soit \(f:U\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathscr C^1\) sur \(U\) connexe
    Si \(\operatorname{grad} f(x,y)=(0,0)\) pour tout \((x,y)\in U\),
    Alors \(f\) est une fonction constante sur \(U\)

    Corollaire du théorème des accroissements finis (fonction de deux variables) :
    • \(f\) est une fonction réelle définie sur un ensemble connexe \(U\)
    • \(f\) est de classe \(\mathscr C^1\)
    • pour tout \((x,y)\in U\), \(\operatorname{grad} f(x,y)=(0,0)\)

    $$\Huge\iff$$
    • \(f\) est une fonction constante sur \(U\)



    (Classe de fonctions, Connexité, Gradient, Fonction constante)
    Montrer que si \(f:U\to{\Bbb R}\) est de classe \(\mathscr C^1\), où \(U\) est un ouvert convexe de \({\Bbb R}^2\), et si \(\operatorname{grad} f(x,y)=(0,0)\) pour tout \((x,y)\in U\), alors \(f\) est constante sur \(U\)
    (corollaire du théorème des accroissements finis)

    Inégalité des accroissements finis

    Soit \(a\in U\) fixé
    \(\forall a\in U\), on a \(\lVert\operatorname{grad} f(x)\rVert_2\leqslant0\)
    On en déduit d'après le théorème des accroissements finis : $$\lvert f(x)-f(a)\rvert\leqslant0\lVert b-a\rVert_2=0$$ ainsi, \(\forall x\in U,f(x)=f(a)\) et \(f\) est constante

    (Inégalité des accroissements finis (Plusieurs variables))



    Plusieurs variables

    Théorème des accroissements finis pour une fonction \(f:[a,b]\to F\) :
    • \(F\) est un \({\Bbb R}\)-espace vectoriel normé
    • soit \(f:[a,b]\to F\)
    • \(f\) est continue sur \([a,b]\)
    • \(f\) est différentiable sur \(]a,b[\)

    $$\Huge\iff$$
    • $$\lVert f(b)-f(a)\rVert_F\leqslant\sup_{c\in]a,b[}\lVert f^\prime(c)\rVert_F(b-a)$$



    Théorème des accroissements finis :
    • \(E,F\) sont deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
    • \(U\) est un ouvert de \(F\)
    • \(f:U\to F\)
    • \(a\ne b\in U\) avec \([a,b]\subset U\)
    • \(f\) est continue sur \([a,b]\)
    • \(f\) est différentiable sur \(]a,b[\)

    $$\Huge\iff$$
    • $$\lVert f(b)-f(a)\rVert _F\leqslant\sup_{x\in\,]a,b[}\lVert df(c)\rVert_{\mathcal L_C(E,F)}\lVert b-a\rVert_E$$ avec \(\displaystyle\lVert df(x)\rVert_{\mathcal L_C(E,F)}=\sup_{h\in E}\frac{\lVert df(c)(h)\rVert}{\lVert h\rVert}\) la norme subordonnée


    (Norme triple - Norme subordonnée)
    Théorème des accroissements finis à plusieurs variables 3 :
    • soit \(F\) un espace vectoriel normé
    • soient \(f:[a,b]\to F\) et \(g:[a,b]\to{\Bbb R}\)
    • \(f,g\) sont continues sur \([a,b]\)
    • \(f,g\) sont différentiables sur \(]a,b[\)
    • \(\forall a\lt t\lt b,\qquad\lVert f^\prime(t)\rVert\leqslant g(t)\)

    $$\Huge\iff$$
    • $$\lVert f(b)-f(a)\rVert\leqslant g(b)-g(a)$$



    Conséquences


    Fonctions globalement et localement lipschitizennes

    Caractérisation des fonctions lipschitziennes via TAF :
    • soient \(E,F\) deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
    • soit \(U\) un ouvert de \(E\)
    • soit \(f:U\to F\) différentiable sur \(U\)
    • \(U\) est connexe
    • \(\exists k\gt 0,\forall x\in U,\qquad\lVert df(x)\rVert\leqslant k\)

    $$\Huge\iff$$
    • \(f\) est \(k\)-lipschitzienne


    (Connexité, Fonction lipschitzienne)
    Corollaire :
    Caractérisation des fonctions localement lipschitziennes via TAF :
    • soient \(E,F\) deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
    • \(E\) est de dimension finie
    • soit \(U\) un ouvert de \(E\)
    • soit \(f:U\to F\) de classe \(\mathcal C^1\)

    $$\Huge\iff$$
    • \(f\) est localement lipschitzienne


    (Fonction lipschitzienne, Classe de fonctions)

    Fonctions constantes et affines

    Caractérisation des fonctions constantes via TAF :
    • soient \(E,F\) deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
    • soit \(U\) un ouvert de \(E\)
    • soit \(f:U\to F\)
    • \(U\) est connexe
    • \(\forall x\in U,\qquad df(x)=0\)

    $$\Huge\iff$$
    • \(f\) est constante sur \(U\)


    Corollaire :
    Caractérisation des fonctions affines via TAF :
    • soient \(E,F\) des \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
    • soit \(U\) un ouvert de \(E\)
    • soit \(f:U\to F\)
    • \(U\) est connexe
    • \(df\) est constante

    $$\Huge\iff$$
    • \(f\) est affine sur \(U\)



    Fonctions de classe C1

    Caractérisation des fonctions de classe \(\mathcal C^1\) via TAF :
    • soient \(E_1,\dots,E_n\) des \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
    • soit \(U\) un ouvert de \(E\times \dots\times E_n\)
    • soit \(f:U\to F\)
    • \(U\) admet des différentielles partielles, qui sont continues sur \(U\)

    $$\Huge\iff$$
    • \(f\) est \(\mathcal C^1\) sur \(U\)


    [!Warning] Caractère local
    Ce théorème n'aide pas pour dire si on a la différentiabilité en un point.
    Dans des cas pathologiques (fonction différentiable en un seul point par exemple), on ne peut pas utiliser ce théorème.
    (être \(\mathcal C^1\) en un point, ça n'a pas de sens)
    Corollaire :
    Caractérisation d'une fonction de classe \(\mathcal C^1\) sur \({\Bbb R}^n\) via TAF :
    • soit \(F\) un espace vectoriel normé
    • soit \(U\) un ouvert de \({\Bbb R}^n\)
    • soit \(f:U\to F\)
    • \(f\) admet des dérivées partielles, qui sont continues

    $$\Huge\iff$$
    • \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(U\)



    Appliqué à une fonction discrète

    Théorème des accroissements finis appliqué à une fonction discrète : $$\exists N\in{\Bbb N},\forall n\geqslant N,\quad\lvert f(n+1)-f(n)\rvert\leqslant\varepsilon$$

    Exercices

    Soit la série de fonctions $$f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{e^{-nx}}{n^2+1}$$ converge normalement sur \({\Bbb R}_+\)
    On a \(f^\prime(x)=\sum_n f^\prime_n(x)=\sum_n-\frac{n}{n^2+1}e^{-nx}\in\mathcal C^1(]0,+\infty[)\) converge normalement sur \([a,+\infty[\)
    On a \(\lim_{x\to 0}f^\prime(x)=-\infty\) et $$\forall x\gt 0, f^\prime(x)\leqslant\underbrace{-\frac12\sum^{N_x}_{n=0}\frac n{n^2+1}}_{\to-\infty\text{ car }N_x\to+\infty \text{ quand }x\to0}$$
    Montrer en utilisant le théorème des accroissements finis que le taux d'accroissement de \(f\) vérifie $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\longrightarrow-\infty$$ et que, par suite, \(f\) n'est pas dérivable en \(0\)

    Appliquer le théorème des accroissements finis
    Soit \(a=0,b=x\)
    Alors d'après le théorème des accroissements finis, \(\exists c_x\in\,]0,x[\) tel que $$ f(x)-f(0)=f^\prime(c_x)x\iff\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^\prime(c_x)\leqslant-\frac12\sum^{N_{c_x}}_{n=0}\frac n{n^2+1}$$

    Taux d'accroissement diverge \(\to\) pas dérivable

    Quand \(x\to0\), \(c_x\to0\) aussi car \(0\leqslant c_x\leqslant x\)
    Donc $$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\leqslant\lim_{x\to0^+}-\frac12\sum^{N_{c_x}}_{n=0}\frac n{n^2+1}=-\infty$$



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